크기 4인 군의 분류

모든 크기 4인 군은 순환군 $Z_4$나 Klein-4군 $V_4$와 동형isomorphic다.

Order 4인 원소가 있는 경우

그 원소를 $x$로 놓았을 때 $\vert \langle x \rangle \vert$은 이미 크기가 4이기 때문에 $x$로만 생성되는 군이 이미 모든 공간을 채워버린다. 따라서 $Z_4$.

그렇지 않은 경우

그렇다면 1을 제외한 모든 원소의 order가 2일 것이다(Order 1인 원소는 1밖에 없기 때문에 세 자리가 남으므로). 다시 말해, 대상 군을 $G$로 놓았을 때 $G = \{1,x,y,z\}$ 의 형태로, 서로 다른 $x,y,z$에 대해 $\vert x \vert=\vert y\vert=\vert z\vert = 2$를 만족한다.

남은 연산 관계를 채우기 위해서는 직접 경우를 제거해나가면 된다. $xy$에 집중하면,

$xy=1$일 때 $y$는 $x$의 역원이 되기 때문에 $y=x$가 되므로 모순이다.

$xy = x$일 때 양변의 왼쪽에 $x$를 곱하면 $x^2 = 1$이므로 $y = 1$이 된다. 모순

$xy = y$도 마찬가지로 모순이다.

따라서 $xy = z$인 경우만 남는다.

이런 과정을 모두 반복하면 다음의 군표(group table)을 얻을 수 있다.

이 연산은 닫혀있으면서 associative이고, 항등원이 잘 작동하고 역원이 언제나 존재하므로 $G$는 군이고, 사실 Klein 4 군과 동형이다.